पाइथागोरस थ्योरम क्या है?

पाइथागोरस थ्योरम (जिसे पाइथागोरस प्रमेय भी कहा जाता है) गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है, जो समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध बताता है। समकोण त्रिभुज की भुजाओं को पाइथागोरस त्रिक भी कहा जाता है। इस प्रमेय का सूत्र और प्रमाण यहाँ उदाहरण सहित समझाया गया है।

पाइथागोरस थ्योरम का उपयोग मूल रूप से किसी अज्ञात भुजा की लंबाई और त्रिभुज के कोण को खोजने के लिए किया जाता है। इस थ्योरम से हम आधार, लंब और कर्ण सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। आइए यहां पाइथागोरस थ्योरम के गणित को विस्तार से जानें।

पाइथागोरस थ्योरम कहता है कि “एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है”। इस त्रिभुज की भुजाओं को लम्ब, आधार और कर्ण नाम दिया गया है। यहां, कर्ण सबसे लंबी भुजा है, क्योंकि यह कोण 90° के विपरीत है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ (मान लीजिए a, b और c) जिनमें धनात्मक पूर्णांक मान होते हैं, उन्हें वर्गित करने पर एक समीकरण में डाल दिया जाता है, जिसे पायथागॉरियन त्रिक भी कहा जाता है।

इस थ्योरम को आमतौर पर एक समीकरण के रूप में निम्नलिखित तरीके से अभिव्यक्त किया जाता है

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,$

जहाँ c समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है तथा a और b अन्य दो भुजाओं की लम्बाई है।पाइथागोरस यूनान के गणितज्ञ थे। परम्परानुसार उन्हें ही इस प्रमेय की खोज का श्रेय दिया जाता है। हालांकि यह माना जाने लगा है कि इस प्रमेय की जानकारी उनसे पूर्व तिथि की है। भारत के प्राचीन ग्रंथ बौधायन शुल्बसूत्र में यह प्रमेय दिया हुआ है। काफी प्रमाण है कि बेबीलोन के गणितज्ञ भी इस सिद्धांत को जानते थे।

पाइथागोरस थ्योरम सूत्र के रूप में

पाइथागोरस थ्योरम कहता है कि यदि एक त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, तो कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। निम्नलिखित त्रिभुज ABC पर गौर करें, जिसमें हमारे पास AC² = AB² + BC² है। यहां, AB आधार है, BC ऊंचाई (ऊंचाई) है, और AC कर्ण है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कर्ण समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है।

अगर हम कर्ण की लंबाई को c और अन्य दो भुजाओं की लंबाई को a और b लेते हैं, तो प्रमेय को निम्नलिखित समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

या,

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,$

यदि c तथा एक भुजा का मान पहले से दिया गया है और तीसरी भुजा की लंबाई निकालनी हो, तो निम्नलिखित समीकरण का उपयोग किया जा सकता है :

$c^{2}-a^{2}=b^{2}\,$

या

$c^{2}-b^{2}=a^{2}.\,$

यह समीकरण समकोण त्रिकोण के तीनों भुजाओं के बीच एक सरल सम्बन्ध प्रदान करता है। इस प्रमेय का सामान्यीकरण ‘कोज्या नियम’ (Cosine rule) कहलाता है जिसकी सहायता से किसी भी त्रिकोण के तीसरी भुजा की लम्बाई की गणना की जा सकती है यदि शेष दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की माप दी गयी हो।

पाइथागोरस थ्योरम का इतिहास

पाइथागोरस थ्योरम को समोस के यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने प्रस्तुत किया था। वह एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक थे जिन्होंने गणितज्ञों का एक समूह बनाया था जो संख्याओं पर धार्मिक रूप से काम करते थे और भिक्षुओं की तरह रहते थे। हालाँकि पाइथागोरस ने प्रमेय पेश किया, लेकिन ऐसे सबूत हैं जो साबित करते हैं कि यह पाइथागोरस के जन्म से 1000 साल पहले अन्य सभ्यताओं में भी मौजूद था। सबसे पुराना ज्ञात साक्ष्य 20वीं से 16वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच पुराने बेबीलोनियन काल में देखा जाता है।

2000 और 1786 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए, मध्य साम्राज्य मिस्र के बर्लिन पपीरस 6619 में एक समस्या शामिल है जिसका समाधान पायथागॉरियन ट्रिपल 6: 8: 10 है, लेकिन समस्या एक त्रिकोण का उल्लेख नहीं करती है। मेसोपोटामियन टैबलेट प्लाम्पटन 322, 1790 और 1750 ईसा पूर्व के बीच हम्मुराबी द ग्रेट के शासनकाल के दौरान लिखा गया था, जिसमें पाइथागोरियन त्रिगुणों से संबंधित कई प्रविष्टियां शामिल हैं।

भारत में, बौधायन सुलबा सूत्र, जिनकी तिथियां 8 वीं और 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच बताई गई हैं, में पाइथोगोरियन त्रिगुणों की एक सूची और पाइथागोरस प्रमेय का विवरण शामिल है, दोनों समद्विबाहु के विशेष मामले में दोनों त्रिभुज और सामान्य मामले में, जैसा कि आपस्तम्बा सुलबा सूत्र (c। 600 ईसा पूर्व) है।

Van der Waerden का मानना था कि यह सामग्री “निश्चित रूप से पहले की परंपराओं पर आधारित थी”। कार्ल बोयर कहते हैं कि औलबा-सत्तरम में पाइथागोरस प्रमेय प्राचीन मेसोपोटामियन गणित से प्रभावित हो सकता है, लेकिन इस संभावना के पक्ष या विपक्ष में कोई निर्णायक सबूत नहीं है।

पाइथागोरस थ्योरम प्रमाण

पाइथागोरस थ्योरम को कई तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है। सबसे आम और व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली कुछ विधियाँ बीजगणितीय विधि और समरूप त्रिभुज विधि हैं। आइए इस प्रमेय के प्रमाण को समझने के लिए इन दोनों विधियों पर अलग-अलग नजर डालें।

1. बीजगणितीय विधि का उपयोग करके पाइथागोरस थ्योरम सूत्र का प्रमाण

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण बीजगणितीय विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए हम मान a, b, और c का उपयोग करें जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है और नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: इस विधि को ‘पुनर्व्यवस्था द्वारा प्रमाण’ के रूप में भी जाना जाता है। 4 सर्वांगसम समकोण त्रिभुज लें, जिनकी भुजाओं की लंबाई ‘ए’ और ‘बी’ और कर्ण की लंबाई ‘सी’ हो। उन्हें इस प्रकार व्यवस्थित करें कि सभी त्रिभुजों के कर्ण एक झुके हुए वर्ग का निर्माण करें। यह देखा जा सकता है कि वर्ग PQRS में, भुजाओं की लंबाई ‘a + b’ है। चार समकोण त्रिभुजों में ‘बी’ आधार, ‘ए’ ऊंचाई और ‘सी’ कर्ण है।
चरण 2: जैसा कि दिखाया गया है, 4 त्रिभुज आंतरिक वर्ग WXYZ बनाते हैं, जिसकी चारों भुजाएँ ‘c’ हैं।
चरण 3: चारों त्रिभुजों को व्यवस्थित करने पर वर्ग WXYZ का क्षेत्रफल c² है।
चरण 4: भुजा (a + b) वाले वर्ग PQRS का क्षेत्रफल = 4 त्रिभुजों का क्षेत्रफल + भुजा ‘c’ वाले वर्ग WXYZ का क्षेत्रफल। इसका मतलब है (a + b)² = [4 × 1/2 × (a × b)] + c²। इससे a²+ b² + 2ab = 2ab + c² होता है। इसलिए, a² + b² = c². अत: पाइथागोरस प्रमेय सूत्र सिद्ध होता है।

2. समान त्रिभुजों का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय सूत्र प्रमाण

दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके संगत कोण समान माप के हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों। साथ ही, यदि कोण समान माप के हैं, तो ज्या नियम का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि संगत भुजाएँ भी समान अनुपात में होंगी। इसलिए, समरूप त्रिभुजों में संगत कोण हमें भुजाओं की लंबाई के समान अनुपात की ओर ले जाते हैं।

पाइथागोरस थ्योरम के उदाहरण

पाइथागोरस थ्योरम एक ऐसा गणितीय सिद्धांत है जो त्रिभुजों के बीच संबंध को स्पष्ट करने में मदद करता है, और इसे अनेक विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के लिए उदाहरणों के साथ समझना महत्वपूर्ण है। यहां हम कुछ उदाहरणों के माध्यम से देखेंगे कि पाइथागोरस थ्योरम कैसे लागू होता है:

उदाहरण 1: सामान्य त्रिभुज

चलिए सबसे पहले सामान्य त्रिभुज का एक उदाहरण लें, जिसमें तीनों बाहुएं सीधी होती हैं।

समझाएं, एक त्रिभुज जिसकी दो भुजा 3 सेमीटर और 4 सेमीटर हैं, उसकी तीसरी भुजा की लंबाई क्या होगी?

हम पाइथागोरस थ्योरम का उपयोग कर सकते हैं: c²=a²+b² यहां, a और b तीन और चार सेमीटर को दर्शाते हैं और c तीसरी भुजा की लंबाई है।

C²=32+42

C²=9+16

C²=25

C =5

इसलिए, इस त्रिभुज की तीसरी बाहु 5 सेमीटर की है।

उदाहरण 2: सामंजस्य त्रिभुज

अब हम एक सामंजस्य त्रिभुज का उदाहरण लें, जिसमें एक कोण अनुपस्थित है। विचार करें, एक त्रिभुज जिसमें दो बाहुएं 5 सेमीटर और 12 सेमीटर हैं, उसकी तीसरी बाहु की लंबाई क्या होगी?

इसके लिए हम पुनः पाइथागोरस थ्योरम का उपयोग कर सकते हैं:

c²=a²+b² यहां, a और b पहले और दूसरे बाहुओं को दर्शाते हैं और c तीसरी बाहु की लंबाई है।

c²=52+122

c²=25+144

c²=169

c=13

इसलिए, इस सामंजस्य त्रिभुज की तीसरी बाहु 13 सेमीटर की है।

उदाहरण 3: समतल त्रिभुज

अब हम एक समतल त्रिभुज का उदाहरण लें, जिसमें सभी तीन बाहुएं विभिन्न हैं।

मान लीजिए, एक त्रिभुज जिसमें तीन बाहुएं हैं – 7 सेमीटर, 24 सेमीटर, और 25 सेमीटर। क्या यह एक पाइथागोरस त्रिभुज है?

हम पुनः पाइथागोरस थ्योरम का उपयोग कर सकते हैं:

c²=a²+b²

यहां, a, b, और c तीनों बाहुओं को दर्शाते हैं।

25²=7²+24²

पाइथागोरस थ्योरम का उपयोग

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग हमारे दैनिक जीवन में देखा जा सकता है। यहां पाइथागोरस प्रमेय के कुछ अनुप्रयोग दिए गए हैं।

1. इंजीनियरिंग और निर्माण क्षेत्र

अधिकांश आर्किटेक्ट अज्ञात आयामों को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय की तकनीक का उपयोग करते हैं। जब लंबाई या चौड़ाई ज्ञात होती है तो किसी विशेष क्षेत्र के व्यास की गणना करना बहुत आसान होता है। इसका उपयोग मुख्य रूप से इंजीनियरिंग क्षेत्र में दो आयामों में किया जाता है।

2. सुरक्षा कैमरों में चेहरे की पहचान

सुरक्षा कैमरों में चेहरा पहचानने की सुविधा पाइथागोरस प्रमेय की अवधारणा का उपयोग करती है, अर्थात, सुरक्षा कैमरे और व्यक्ति के स्थान के बीच की दूरी को नोट किया जाता है और अवधारणा का उपयोग करके लेंस के माध्यम से अच्छी तरह से प्रक्षेपित किया जाता है।

3. लकड़ी का काम और इंटीरियर डिजाइनिंग

पाइथागोरस अवधारणा को इंटीरियर डिजाइनिंग और घरों और इमारतों की वास्तुकला में लागू किया जाता है।

4. मार्गदर्शन

समुद्र में यात्रा करने वाले लोग अपने संबंधित स्थानों पर जाने के लिए सबसे कम दूरी और मार्ग खोजने के लिए इस तकनीक का उपयोग करते हैं।

पाइथागोरस थ्योरम पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

पाइथागोरस का सिद्धांत क्या है?

चौथी सदी इसवी से, पाइथोगोरस को पाइथोगोरस की प्रमेय (Pythagorean theorem) की खोज का श्रेय दिया जाता है, ज्यामिति में एक प्रमेय जो स्थापित करती है कि एक समकोण त्रिभुज में विकर्ण स (समकोण के सामने वाली भुजा) का वर्ग अन्य दो भुजाओं ब और अ के वर्ग के योग के बराबर होता है। अर्थात a² + b² = c².

पाइथागोरस त्रिक क्या है उदाहरण सहित?

पाइथागोरस प्रमेय के पूर्णांक समाधान, a²+ b² = c ² को पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है जिसमें तीन सकारात्मक पूर्णांक a, b, और c होते हैं। अतः, 3,4 और 5 पाइथागोरस त्रिक हैं।

पाइथागोरस थ्योरम के जनक कौन है?

पाइथागोरस का नेतृत्व पाइथागोरस नाम के एक व्यक्ति ने किया था, जो प्राचीन ग्रीस का गणितज्ञ, वैज्ञानिक और रहस्यवादी था। पाइथागोरस कई उल्लेखनीय वैज्ञानिक और दार्शनिक खोजों के लिए जिम्मेदार हैं, लेकिन वह गणित में पाइथागोरस प्रमेय के लिए सबसे प्रसिद्ध हैं।

पाइथागोरस थ्योरम का सूत्र क्या है?

एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस का सूत्र इस प्रकार दिया गया है; a²+ b² = c²

क्या हम पाइथागोरस थ्योरम को किसी त्रिभुज के लिए लागू कर सकते हैं?

नहीं, यह प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज के लिए लागू है।

पाइथागोरस थ्योरम क्या है? – सूत्र, प्रमाण, उदाहरण | Pythagoras Theorem in hindi